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負の数同士の掛け算の証明 [数学]

先日書いた、負の数同士の掛け算について、その後調べてみた。
前回の記事
調べてみると結構色んなサイトや証明の仕方があって面白かったが、
正直しっくりこないもの(俺の頭じゃ理解できないもの)ばかり・・・

その中である程度納得できるものがあったので、自分なりの解釈
としてまとめる。

■前提条件1
数直線上において、右へ移動することを+、左へ移動することを-とする。
例えば+2の場所にいるとして、
例1 「右へ3移動する」を式で表すと2+3=5
例2 「左へ3移動する」を式で表すと2-3=-1
例3 「左へ-3移動する」を式で表すと2-(-3)=5
例3より、-(負の数)=正の数になるといえる・・・*1

■前提条件2
正の数と負の数の掛け算は負の数になる。
 例)-4×3=(-4)+(-4)+(-4)=-12
よって-1×1=-1になるといえる。・・・*2

■本題
0より小さい値aとbがあるとする。すなわち
  a<0、b<0
である。また①は
  0<-a、0<-b
ともいえる。(理由は前提条件*1より)
ここで負の数に正の数を掛けても不等号の向きは変わらない、
例えば-4に3を掛けても(-4)+(-4)+(-4)=-12<0なので
   a×(-b)<0
といえる。③は
   a×(-1)×b<0
⇔ (-1)×(a×b)<0
ここで前提条件*2より、-1を掛けて負の数になるということは、
(a×b)は正の数であるといえる。
よって、負の数同士の掛け算は正の数になるといえる。


うーん、自分で書いててちょっとやっつけな気もするが、証明はできた。
つーか、文字式を使っちゃっていいのか?
将来子供に聞かれたときに納得してもらえるかなあ・・・
まあ、その前に相手探さんとだけど・・・

■余談
上記は下記サイトのベストアンサーを参考に、自分なりに説明するとき用に
補足として記載した。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1421965654

また、調べていくうちに「皿とお菓子」や図形の面積で証明している
ものがあったので、備忘録として以下に記載。
http://www7a.biglobe.ne.jp/~number/page102.html
へーと思ったけど正直よくわかりませんでした。(俺の読解力が低い?)
時間があったら、再読してみる。
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負の数同士の掛け算 [数学]

世の中いろいろ納得できないことだらけ、
まあ自分のできの悪さもあるんだけど・・・
いまいち納得できないことの一つに、中学のときに習った
負の数の掛け算がある。
気温マイナス何度など、中学入学以前にも言葉は知ってはいた。
ゼロから1を引くと-1になる。
ゼロより小さい数が「負の数」である。

だから足し算、引き算は以下のようになる。
例1 3-5=-2
例2 (-2)+3=1
例3 (-2)-3=-5
つまり負の数に足すと正の方向に、引くとマイナスの方向にいく。

で、掛け算はというと正の数同士、例えば3×4などは
例4 3×4=3+3+3+3=12
なので、正の数と負の数の掛け算は、
例5 (-3)×4=-3-3-3-3=-12
例6 4×(-3)=(-3)×4=-12 ←例5の交換法則
になる。

ここまではいい。
問題は負の数同士の掛け算。
これがいまだに納得できない。
例7 (-3)×(-4)=12
負の数と負の数を掛けると正の数になる。

なんで?

これの納得いく説明がいまだにできない。

「りんごが箱の中に-3個入っています。
さらに同じ箱が-4箱あります。
なので-3×-4でりんごは12個です。」
これは例えが悪すぎる。そもそも-3個ってなんだ?
しかも何もないところから、いきなりりんごがでてきたことになる。
(そのように見えてしまう)

数年前に東工大数学科のいとこに質問したことがあったけど、
結局チンプンカンプンだった。
Wikipediaも見てみたけどいまいち納得できない。

思ったのが、いきなりベクトル的な考えが入っちゃうからなのかなあと・・・


仕事が捗らなかったのでついそんなことを考えてしまった。
今日はちゃんと仕事します。

■追記
一応、証明っぽいものを作成したのでリンクを貼っておく
負の数同士の掛け算の証明
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